「下へ、捨てる」を繰り返すことは、偶数番目のカードを捨てることですから、奇数に誘導するのはすぐに判ります。更に枚数によって変わりそうだとも予想がつきますので、最初のトランプの枚数と、最後に残るカードの順番とを調べてみると、
| 枚数 | ？枚目 | ||
| 10進数 | 2進数 | 10進数 | 2進数 |
| 2 | 10 | 1 | 01 |
| 3 | 11 | 3 | 11 |
| 4 | 100 | 1 | 001 |
| 5 | 101 | 3 | 011 |
| 6 | 110 | 5 | 101 |
| 7 | 111 | 7 | 111 |
| 8 | 1000 | 1 | 0001 |
| 9 | 1001 | 3 | 0011 |
| ： | ： | ||
| 24 | 11000 | 17 | 10001 |
| 25 | 11001 | 19 | 10011 |
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表の10進数を見て何枚目かは１、３、５、７、・・・と循環しているのが判ります。更に2進数の方を見てください。枚数と？枚目に相関があることが判ります。枚数の最初の1を右端に移動すると、？枚目なのです。
相手から数字１７を聞き出すと、脳細胞をフル稼働させ、１７は２進数で１０００１、右端の１を左端に移せば、１１０００。１０進数に直せば２４。かくして２４枚のカードを取り出して、やおら「お好きなカードをお選びください。」 後はめでたしめでたしです。
こうなれば偶数の方はどうかと調べたくなります。つまり一枚目を捨て、次を最後への操作の繰り返しです。同じく最初のトランプの枚数と、最後に残るカードの順番とを調べてみると、
| 枚数 | ？枚目 | ||
| 10進数 | 2進数 | 10進数 | 2進数 |
| 2 | 10 | 2 | 10 |
| 3 | 11 | 2 | 10 |
| 4 | 100 | 4 | 100 |
| 5 | 101 | 2 | 010 |
| 6 | 110 | 4 | 100 |
| 7 | 111 | 6 | 110 |
| 8 | 1000 | 8 | 1000 |
| 9 | 1001 | 2 | 0010 |
| 10 | 1010 | 4 | 0100 |
| 11 | 11001 | 6 | 0110 |
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残念ながら２進数の相関は見つかりません。しかし１０進数での繰り返しの区切りが、２、４、８、１６、３２、・・と聞き慣れた数字で、これが利用できそうです。
相手から聞き出した数を１８としてみましょう。枚数は１６と３２の間にあることになります。１８は２、４、６、・・と進む偶数の９番目ですから、１７から数えて９番目２５が枚数の答えになります。
