数学マジック 3-2

 「下へ、捨てる」を繰り返すことは、偶数番目のカードを捨てることですから、奇数に誘導するのはすぐに判ります。更に枚数によって変わりそうだとも予想がつきますので、最初のトランプの枚数と、最後に残るカードの順番とを調べてみると、

枚数 ?枚目
10進数 2進数 10進数 2進数
2 10 1 01
3 11 3 11
4 100 1 001
5 101 3 011
6 110 5 101
7 111 7 111
8 1000 1 0001
9 1001 3 0011
24 11000 17 10001
25 11001 19 10011


 表の10進数を見て何枚目かは1、3、5、7、・・・と循環しているのが判ります。更に2進数の方を見てください。枚数と?枚目に相関があることが判ります。枚数の最初の1を右端に移動すると、?枚目なのです。
 相手から数字17を聞き出すと、脳細胞をフル稼働させ、17は2進数で10001、右端の1を左端に移せば、11000。10進数に直せば24。かくして24枚のカードを取り出して、やおら「お好きなカードをお選びください。」 後はめでたしめでたしです。
 こうなれば偶数の方はどうかと調べたくなります。つまり一枚目を捨て、次を最後への操作の繰り返しです。同じく最初のトランプの枚数と、最後に残るカードの順番とを調べてみると、 

枚数 ?枚目
10進数 2進数 10進数 2進数
2 10 2 10
3 11 2 10
4 100 4 100
5 101 2 010
6 110 4 100
7 111 6 110
8 1000 8 1000
9 1001 2 0010
10 1010 4 0100
11 11001 6 0110


 残念ながら2進数の相関は見つかりません。しかし10進数での繰り返しの区切りが、2、4、8、16、32、・・と聞き慣れた数字で、これが利用できそうです。
 相手から聞き出した数を18としてみましょう。枚数は16と32の間にあることになります。18は2、4、6、・・と進む偶数の9番目ですから、17から数えて9番目25が枚数の答えになります。

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