昔からあるゲームに「三山くずし」があります。三つの山にそれぞれ石を積み上げ、二人交互に一つの山から（二つの山にまたがってはいけません）1個以上の石を取り合い、最後の石を取った方が勝ち、または最後の石を取らざるを得なくなった方が負け、のゲームです。但しこのゲームには必勝法があります。
二つの山ならば、必勝法はすぐに判ります。キーワードは、「同数」。石の数を同じになるようにして、相手の手番にすればよいのです。最終的な数は、２－２。最後は、勝ちの形態で取り方を変えます。
三山の場合の最終的な数は、１－２－３ です。同じくキーワードは「同数」です。但し１０進数で、１＋２＝３ と考えてしまってはいけません。１０進数では同数は一義的には決まりません。例えば石の数が ８－６－５ のとき、石を取って １－６－５ とできますが、８－３－５ とも ８－６－２ ともできます。それならばどうするか。ここで、０か１かで決まってしまう真打ち２進数の登場です。
先の １－２－３ は、それぞれを２進数で表すと、１は ００１、２は ０１０、３は ０１１ です。それぞれのビットに立つ１は２個（偶数個）になっています。この状況は一義的に決まり、相手はこの関係を崩すことしかできず、あなたは再び偶数個にして相手に手番を渡せば必ず勝てます。先ほどの ８－６－５ では、８は １０００、６は ０１１０、５は ０１０１ ですから、ビット毎の１を偶数個にするには、８を ００１１ に、つまり３にすれば良いわけです。
あえて偶数個と言ったのは、このゲームは三山に限らず、四山でも五山でもそれ以上でも同じだからです。四山の最終的な数は １－１－２－２ 、五山では １－１－１－２－３ です。山が多くてもゲームが進行すれば一山減り、二山減り、・・となってゆき、最後は三山での争いになるので、「三山くずし」のゲームとして残ったのです。
